玩機率為 1% 的扭蛋，仍有接近 40% 的人還是會摃龜。如何解讀「真正的機率」

「扭蛋」已成為各式手遊中不可或缺的存在。當你抽中喜歡的角色或道具時，那種爽感是無法用言語形容的；但相反的，當你課了一堆錢之後，最後卻只什麼都沒有時，那種沮喪也是無法形容。

當然，這一切都取決於運氣，玩家能依賴的數據也只有官方公佈的出現機率。以前很多遊戲都未公開這些機率，但近年來該行業逐漸推動將機率公開。在遊戲《碧藍幻想》中，也從 2016 年 3 月 10 日開始會顯示裝備品的單獨出現機率。

然而，即使機率的情報已經被公開，如果玩家無法正確理解它，也就沒有意義了。常見的錯誤是 「如果出現機率是 1％，那麼抽 100 次就該中獎」。實際上，抽 100 次出現機率為 1％ 的扭蛋，中獎機率只有 約 63％。換句話說，如果有100個玩家分別抽100次，那麼63人會中獎，而剩下的37人則全部落空。

這個結果看起來令人匪夷所思，但如果不理解它，就有可能高估機率，也會因為「為什麼我抽了這麼多次還是沒有中獎」而感到壓力。本文將盡可能易懂地解釋機率，請仔細閱讀。

首先，了解真正的扭蛋和手遊扭蛋的區別

「如果出現機率為 1% 的扭蛋，抽 100 次就該中獎」的想法雖然說是錯誤的，但實際上在某些場合是對的，而且不是「應該中獎」，而是「一定中獎」，那就是實體的扭蛋機 (以下稱為真實扭蛋)。

例如，如果你扭一個內含 100 顆扭蛋的真實扭蛋機 100 次，其中有一顆是大獎，無論你多麼倒霉，你一定會在第 100 次抽中。但真實扭蛋並不能夠跟手遊扭蛋相提並論，這也是為何會有錯誤想法的原因。

那麼真實扭蛋和手遊扭蛋有什麼區別呢？就是在第一次扭完後，扭下一次時 「是否有排除前一次的結果」。

首先解釋一下真實扭蛋系統。 由於 100 個總數太多，這裡就 10 個進行說明。下圖是 10 個扭蛋中有 1 個大獎的狀態：

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第一次就抽中的機率是 $\frac1{10}$，也就是 10%。如果第一次沒抽中，真實扭蛋會成為下面的狀態：

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而第二次抽中的機率會變成 $\frac19$，約 11%，比第一次高。以此類推，如果繼續輸，第 6 次是 $\frac15$ (20%)，第 9 次是 $\frac12$ (50%)，第 10 次就是 1 (100%)。

另一方面，手遊扭蛋的機率每次都是固定的。以真實扭蛋為例的話，就是扭完後又放回，所以第一次扭蛋的狀態將持續到第 10 次。

從目前的解釋來看，有些人可能會覺得手遊扭蛋與真實扭蛋相比，手遊扭蛋比較不好，但事實並非如此。我們可以想一下第一次就抽中大獎後，第二次要抽時的情況：

真實扭蛋 ●●●●●●●●●

手遊扭蛋 ●●●○●●●●●●

真實扭蛋的中獎機率為 0%，手遊扭蛋的中獎機率為 10%。也就是說，在真實扭蛋中，抽 10 次只能中 1 次，但在手遊扭蛋中，有可能抽 10 次全部都抽到。

真實扭蛋和手遊扭蛋乍看之下很相似，但我希望你能瞭解它們實際上是完全不同的。

順帶一提，有些手遊會設計成與真實扭蛋相同的系統。它被稱為「BOX 扭蛋」，因此請確保你在玩的是哪一種扭蛋。

驗證 1% 機率不是抽 100 次就會 100% 中獎

根據目前的說明，應該有點理解手遊中「出現機率為 1% 的扭蛋，抽 100 次就該中獎」的想法是錯誤的。但對於「約 63%」的真實機率，很多人可能會疑惑：「真的只有這樣嗎？」

當然，我會在本文中解釋如何計算機率，但在此之前，我想介紹一個更易懂的例子，讓你可以在不使用公式的情況下有點感覺：

就是拋硬幣。把硬幣拋向空中，猜是正面或反面的機率，各是 $\frac12$ (50%)。拋這枚硬幣兩次，出現至少一次正面的機率是多少呢？我不認為讀到這裡的讀者會想：「一次出現正面機率 50% 的話，兩次出現正面的機率就是 100%，因為是 2 倍！」讓我們試試把所有情況列出來，藍色是有出現正面的情況，紅色是沒有出現正面的情況：

在所有 4 個情況中，唯一沒有出現的情況只有一種。獲得至少一個正面的概率是 $\frac34$，即 75%。

如果把次數增為三次，出現至少一次正面的機率是多少呢？

在所有 8 個情況中，唯一沒有出現的情況只有一種。獲得至少一個正面的概率是 $\frac78$，即 87.5%。

以上兩個例子中，也許有人注意到，由於「至少一個正面」的情況很多，我們可以反過來找「沒有正面」的情況，再用 1 (100%) 去扣掉即可。

究竟如何找到大家關心的「約 63%」這個數字？

讓我們看看如何從公式中找到機率。我們的目標是「抽到 1% 機率的扭蛋，抽 100 次會抽到的機率」，我們可以反過來求出 100 次全部沒抽中的機率，再用總 1 (100%) 減去即可。

中獎的機率 = 1 - 沒中的機率

抽一次沒中的機率為 1 - 1% = 99%，要連續 100 次沒抽中就要連乘 100 次

$$0.99^{100}\approx0.366$$

接著再用 1 去減

$$1-0.366=0.634$$

因此，我們可以得到開頭提到的「約 63%」的結果。

「機率翻倍」會如何影響結果

讓我們來計算一下稍微不同的條件。

在遊戲內，常常會出現「概率翻倍」的活動，似乎就是更容易中獎，而實際情況如何呢？

將 1% 的勝率翻倍到 2%，也就是沒抽中的機率為 98%。

$$1-0.98^{100}\approx0.867$$

雖然抽 100 次至少中一次的機率大幅上升到 87% 左右，但換句話說，有超過 10% 的人連抽 100 次卻一個都沒抽到。

究竟要抽多少次才能抽到大獎？

在這裡，我們將命題反轉一下，原本是：給定「連抽次數」，求「至少抽到一次的機率」；改成：給定「至少抽到一次的機率」，求「連抽次數」。假設中獎機率為 1%，計算超過 50% 的人至少抽中一次所需的抽卡次數 ($n$)，

至少抽中一次的機率 > 50%

用數學式子列出為

$$1-0.99^n>0.5$$ $$0.99^n<0.5$$

求上面這個公式的解，會需要用到對數運算，高中數學就會學到，目前先省略。總之，得到 $n$ 至少為 69。也就是說，假設每抽一次的價格是 10 元，那要花費 690 元左右，就能有一半的機率抽中。

如果我們假設抽中的概率是 0.3%，在這種情況下也希望至少抽中一次的機率大於 50%，可列出式子：

$$1-0.997^n>0.5$$ $$0.997^n<0.5$$

滿足這個方程式的 $n$ 最小值為 231。也就是說，假設每抽一次的價格是 10 元，那要花費 2,310 元左右，才就能有一半的機率抽中。

讓我們用更現實的例子來計算，設定課金的預算如 100 元，假設每抽一次的價格是 10 元，500 元可以抽 10 次，至少抽中一次的機率約為 3%。

$$1-0.997^{10}\approx0.0296$$

也可以解讀為，消費 100 元的人中，只有不到 3% 的人能抽中；當金額增加到 1000 元時，約為 26%；1 萬元時約為 95%；當達到 10 萬元時，已超過 99.99%。

這次我們計算的機率是 1% 或 0.3%，但現實中也有更低機率的遊戲，所以即使花了 100,000 元也抽不到大獎的情況其實並不少見。

結語

看完這篇文章，想必很多人都覺得比想像中更容易摃龜。希望讀者未來在腦衝課金之前先冷靜下來做一些計算。但再怎麼算，這仍然只是一個機率問題。一定有人運氣好，即使機率再低也在第一次抽就抽中，而這也就是機率的樂趣，也是扭蛋的魅力。

本文修改自一篇來自日本的文章：原文出處